Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Оптимальный финансовый рычаг. Простые рецепты 
Автор Сообщение
Аватара пользователя

Зарегистрирован: Вт фев 15, 2011 7:50 pm
Сообщения: 290
Сообщение Оптимальный финансовый рычаг. Простые рецепты
Финансовые формулы – замечательная вещь. Они дают точные ответы на четко сформулированные вопросы. Однако в реальности мы редко мыслим столь четко. Мы почти всегда используем довольно грубые схемы, думая о рынках и ценах, и это абсолютно нормально, поскольку они позволяют существенно упростить процесс принятия торговых решений и облегчить понимание происходящего. В качестве примера таких схем можно назвать теханалитические понятия «перепроданность»/«перекупленность» или даже саму концепцию «тренд». Можно ли разработать подобные упрощенные схемы для управления капиталом (мани-менеджмента)? Я полагаю, что можно, и здесь изложу вариант такой схемы для определения диапазона возможных значений оптимального финансового рычага (кредитного плеча) для разных рынков в зависимости от склонности инвестора к риску…

Полный текст

_________________
Считать интереснее деньги!


Чт фев 17, 2011 3:59 pm
Профиль
Аватара пользователя

Зарегистрирован: Вт фев 15, 2011 7:50 pm
Сообщения: 290
Сообщение Re: Оптимальный финансовый рычаг. Простые рецепты
Один из наших любознательных читателей задал мне несколько вопросов, касающихся проблемы оптимизации финансового рычага. Общая суть их сводится к следующему: откуда собственно возникли все эти формулы? В рамках отдельной статьи или даже нескольких трудно раскрыть все, поэтому в преддверии новых материалов по ММ, постараюсь ответить на этот вопрос по возможности кратко и доступно.

Начинается все с модели ценовой динамики. Для примера, пускай, будет акция. Простейшую модель динамики ее цены можно представить следующим образом:

dS = µSdt + σSdW

Символ d означает разницу, приращение. То есть модель задает локальную динамику курса акции. Она показывает, на сколько денежных единиц изменится цена акции за малый период времени – dt, формально даже за сколь угодно малый. Для простоты это можно представлять как мельчайшее, тиковое изменение цены. µ – это средняя «мгновенная» доходность, σ – волатильность. Наиболее важная и возможно непонятная вещь в этой формуле – dW. Это нормально распределенная случайная величина. Она является источником «шума» в модели. Чтобы было понятнее приведу пример. Положим, dt = 1/250 = 0.004 (примерно один торговый день), µ = 0.25, σ = 0.25 (доходность и волатильность 25% годовых). Нормально распределенная случайная величина за период времени dt «расползается» на sqrt(dt) ≈ 0.0632. Это значит, что в среднем шум будет случайным образом добавлять к изменению цены ± 0.0632 за день. Предположим, что текущая цена акции на начало дня 100 рублей. Модель позволяет оценить, насколько она изменится за день. Для этого подставим все цифры:

dS = 0.25*100*0.004 ± 0.25*100*0.0632 = 0.1 ± 1.58.

Это значит, что ожидаемый прирост цены акции к концу дня составляет 10 копеек. Но в среднем эта цифра может отклоняться на 1.58 р. в обе стороны, поэтому цена может запросто и упасть к концу дня и вырасти больше чем на 10 коп.

Такая модель называется геометрическое броуновское движение. Геометрическое потому что приращение цены зависит от ее текущего уровня. К примеру, если со временем акция вырастет до 200 р., при тех же условиях ожидаемое приращение к концу дня будет уже 20 коп. То есть это модель относительного роста, подходящая для величин принимающих только положительные значения, таких как цена. Эта конструкция также называется стохастическое дифференциальное уравнение (СДУ). От обычного диффура оно отличается наличием случайного слагаемого dW – источника шума.

Логично возникает вопрос как же узнать не приращение цены к концу дня, а саму ожидаемую цену, спустя, скажем, месяц. Для этого нужно решить СДУ, проинтегрировать его. Не вдаваясь в тонкости, сразу напишу решение:

St = S0exp{(µ - σ^2/2)t + σWt}

S0 – начальная цена. Нетрудно подсчитать, что за месяц (1/12 ≈ 0.0833) ожидаемая цена вырастет до:

100*exp{(0.25-0.25^2/2)*0.0833} = 100*exp{(0.25 - 0.03125)*0.0833}
= 100*exp{0.21875*0.0833} = 100*exp{0.0182} = 100*1.0184 = 101.84 рублей.

Как и в случае с локальной динамикой к этой величине еще добавляется случайная компонента σWt. Это стандартная нормальная величина N(0,1) в момент времени t умноженная на волатильность, или, что тоже самое, нормальная величина с нулевым средним и дисперсией равной σ^2*t.

Наиболее интересная вещь в этом уравнении это exp{µ - σ^2/2}. Это средний геометрический темп роста. Вот его то и надо максимизировать, если мы желаем получить приличный рост капитала. Примечательно, что на рост влияет не только доходность но и волатильность! Функцию экспоненты можно опустить, поскольку она является монотонно возрастающей. Значит, можно сосредоточится на µ - σ^2/2.

Финансовый рычаг (ℓ) линейно влияет на доходность и волатильность. Поэтому при постоянном реинвестировании капитала по принципу сложного процента под экспонентой у нас будет: µℓ - σ^2*ℓ^2/2. Нам нужно найти максимум этого выражения как функцию от рычага. В принципе сделать это может даже школьник. Дифференцируя по ℓ, получаем: µ - σ^2*ℓ.

Чтобы найти максимум, нужно отыскать корень уравнения: µ - σ^2*ℓ = 0. Это уже совсем просто: µ = σ^2*ℓ,

и, наконец, ℓ = µ/σ^2

Вот мы и вывели формулу оптимального рычага для максимального роста капитала. Следует также добавить, что поскольку на практике за рычаг приходится платить, под µ здесь понимается доходность - процент за кредит. В англоязычной литературе это называется excess return.

_________________
Считать интереснее деньги!


Чт фев 17, 2011 8:50 pm
Профиль

Зарегистрирован: Чт фев 17, 2011 11:52 pm
Сообщения: 6
Сообщение Re: Оптимальный финансовый рычаг. Простые рецепты
[quote][/quote]Финансовый рычаг (ℓ) линейно влияет на доходность и волатильность. Поэтому при постоянном реинвестировании капитала по принципу сложного процента под экспонентой у нас будет: µℓ - σ^2*ℓ^2/2.

1.Цитируемое утверждение совсем неочевидно. Откуда взято?
2. Давайте считать, что те, кто читает тему ММ помнить что-то из курса математики для технического ВУЗа. Не нужно уделять столько времени на объяснение символа дифференциала. Лучше побольше говорить про тонкости, как например в п. 1.


Пт фев 18, 2011 12:01 am
Профиль
Аватара пользователя

Зарегистрирован: Вт фев 15, 2011 7:50 pm
Сообщения: 290
Сообщение Re: Оптимальный финансовый рычаг. Простые рецепты
Это по свойствам математического ожидания и дисперсии. Что делает рычаг? Просто умножает процентную доходность. К примеру, если курс акции вырос на 1%, и она куплена с рычагом 1:2, депозит увеличится на 2%. Это единичная сделка. Однако если акция в среднем растет на 1%, скажем, в неделю, то и депозит при двукратном рычаге в среднем будет расти на 2%. Таково свойство среднего значения. Оно линейно реагирует на операцию умножения на константу (рычаг в данном случае). То же самое можно сказать и про волатильность. Дисперсия при умножении на x вырастает в x^2 раз, а волатильность (корень из дисперсии) в просто в x раз

_________________
Считать интереснее деньги!


Пт фев 18, 2011 2:41 pm
Профиль
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 


Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
cron

© 2010-2011 Q-trading.ru.
Powered by phpBB © phpBB Group.
Designed by Vjacheslav Trushkin for Free Forum/DivisionCore.
Русская поддержка phpBB